ত্রিমাত্রিক জগতে P এবং Q বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0,1,2) এবং (1,-1-1) PQ→ বরাবর একক ভেক্টর কত?

ত্রিমাত্রিক জগতে P এবং Q বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0,1,2) এবং (1,-1-1) $\vec{P Q}$ বরাবর একক ভেক্টর কত?

Created: 4 years ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

$\frac{1}{\sqrt{14}} \hat{i} - \frac{2}{\sqrt{14}} \hat{j} - \frac{3}{\sqrt{14}} \hat{k}$
খ

$\frac{1}{\sqrt{14}} \hat{i} - \frac{2}{\sqrt{14}} \hat{j} - \frac{3}{\sqrt{14}} \hat{k}$
গ

$\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{2}{\sqrt{2}} \hat{k}$
ঘ

$\frac{- 1}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$

উচ্চতর গণিত একটি ভেক্টরকে i, j, k দ্বারা প্রকাশ BAU - 2002

1.2k

ব্যাখ্যাঃ ভেক্টর P এবং Q বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক থেকে $\vec{PQ}$ ভেক্টরটি নির্ণয় করা যায় এবং তারপর এর একক ভেক্টর বের করা যায়।
বিস্তারিত সমাধান:

দেওয়া আছে, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক $ (0, 1, 2) $ এবং Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক $ (1, -1, -1) $।

P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,

$ \vec{P} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} = \hat{j} + 2\hat{k} $

Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,

$ \vec{Q} = 1\hat{i} - 1\hat{j} - 1\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k} $

এখন, $\vec{PQ}$ ভেক্টরটি হলো Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর থেকে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বিয়োগ করে।

$ \vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} $ $ \vec{PQ} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{j} + 2\hat{k}) $ $ \vec{PQ} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k} - \hat{j} - 2\hat{k} $ $ \vec{PQ} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k} $

$\vec{PQ}$ ভেক্টরের মান (magnitude) হলো,

$ |\vec{PQ}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2} $ $ |\vec{PQ}| = \sqrt{1 + 4 + 9} $ $ |\vec{PQ}| = \sqrt{14} $

যে কোনো ভেক্টরের একক ভেক্টর (unit vector) হলো সেই ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে যা পাওয়া যায়। অর্থাৎ, $\hat{PQ} = \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|}$

$ \hat{PQ} = \frac{\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}}{\sqrt{14}} $ $ \hat{PQ} = \frac{1}{\sqrt{14}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{14}}\hat{j} - \frac{3}{\sqrt{14}}\hat{k} $

এই ফলাফলটি প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে অপশন 1 এবং অপশন 2 এর সাথে মিলে যায়। লক্ষণীয় যে অপশন 1 এবং অপশন 2 উভয়ই অভিন্ন এবং সঠিক উত্তর নির্দেশ করে।

Satt AI

3 months ago

MCQ: 24

Practice

একটি ভেক্টরকে i, j, k দ্বারা প্রকাশ

একটি ভেক্টরকে $ i $, $ j $, এবং $ k $ দ্বারা প্রকাশ করার জন্য আমরা ত্রিমাত্রিক স্থান (3D space) ব্যবহার করি, যেখানে $ x $, $ y $, এবং $ z $ তিনটি ভিন্ন দিক নির্দেশ করে। এই তিনটি দিক বরাবর ভেক্টরের উপাদানগুলো $ i $, $ j $, এবং $ k $ একক ভেক্টর হিসেবে কাজ করে।

ভেক্টর প্রকাশের নিয়ম

ধরা যাক, $ \vec{A} $ একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর, যার উপাদান হলো $ x $, $ y $, এবং $ z $। তাহলে, ভেক্টর $ \vec{A} $ কে প্রকাশ করা যাবে:

\[
\vec{A} = x i + y j + z k
\]

এখানে:

$ x $: ভেক্টরের $ x $-অক্ষ বরাবর মান,
$ y $: ভেক্টরের $ y $-অক্ষ বরাবর মান,
$ z $: ভেক্টরের $ z $-অক্ষ বরাবর মান,
$ i $: $ x $-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর,
$ j $: $ y $-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর,
$ k $: $ z $-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।

উদাহরণ

ধরা যাক, একটি ভেক্টর $ \vec{A} $ এর $ x $-অক্ষ বরাবর মান $ 3 $, $ y $-অক্ষ বরাবর মান $ 4 $, এবং $ z $-অক্ষ বরাবর মান $ 5 $। তাহলে ভেক্টর $ \vec{A} $ হবে:

\[
\vec{A} = 3i + 4j + 5k
\]

বিশ্লেষণ

মান (Magnitude): ভেক্টরটির মান (ম্যাগনিটিউড) নির্ণয় করতে হলে, আমরা $ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $ সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি। এই উদাহরণে:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 7.07 (প্রায়)
\]
দিক (Direction): $ i $, $ j $, এবং $ k $ এর মান দ্বারা আমরা ভেক্টরটির নির্দিষ্ট দিক নির্দেশ করতে পারি।

সারাংশ

$ i $, $ j $, এবং $ k $ এর মাধ্যমে একটি ভেক্টরকে দ্বিমাত্রিক বা ত্রিমাত্রিক জগতে প্রকাশ করা যায়। $ i $ হল $ x $-অক্ষ বরাবর, $ j $ হল $ y $-অক্ষ বরাবর, এবং $ k $ হল $ z $-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর, যা ভেক্টরের দিক এবং মান প্রদর্শনে সাহায্য করে।

Notification

ত্রিমাত্রিক জগতে P এবং Q বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0,1,2) এবং (1,-1-1) $\vec{P Q}$ বরাবর একক ভেক্টর কত?

ভেক্টর প্রকাশের নিয়ম

উদাহরণ

বিশ্লেষণ

সারাংশ

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion